Mathematik: Unterschied zwischen den Versionen

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Ich würde gerne im Metalab die Mathematik beleben. Für den Anfang schlage ich vor, dass wir uns mit [http://de.wikipedia.org/wiki/Erzeugende_Funktion Erzeugenden Funktionen] beschäftigen. Mit Hilfe erzeugender Funktionen kann jede lineare Rekursion explizit angeschrieben werden. Das heißt, man braucht sich für die, sagen wir, 42. Zahl nicht alle Zahlen davor ausrechnen, sondern kann in eine geschlossene Formel "42" einsetzen und erhält direkt das Ergebnis. ~~Ein detailliertes~~ Beispiel ~~folgt noch (~~Fibonacci-Zahlen) :)

Ich würde gerne im Metalab die Mathematik beleben. Für den Anfang schlage ich vor, dass wir uns mit [http://de.wikipedia.org/wiki/Erzeugende_Funktion Erzeugenden Funktionen] beschäftigen. Mit Hilfe erzeugender Funktionen kann jede lineare Rekursion explizit angeschrieben werden. Das heißt, man braucht sich für die, sagen wir, 42. Zahl nicht alle Zahlen davor ausrechnen, sondern kann in eine geschlossene Formel "42" einsetzen und erhält direkt das Ergebnis. Als Beispiel die Erzeugende Funktion für die Fibonacci-Zahlen:

Die Fibonacci-Zahlen beginnen mit <math>1</math> als nullter Zahl und <math>1</math> als erster Zahl. Dann werden immer die beiden vorigen Zahlen addiert: Die zweite Fibonacci-Zahl ist <math>2</math>, die dritte <math>3</math>, die vierte <math>5</math> usw. Für jede natürliche Zahl <math>n</math> (natürliche Zahlen: <math>1, 2, 3, 4, ...</math>) gibt es eine, aber wie kann man eine geschlossene Formel anschreiben, damit man sich nicht alle Zahlen vor der gesuchten ausrechnen muss? Das geht eben mit Hilfe Erzeugender Funktionen (sorry, ich wiederhole mich), die <math>n</math>-te Fibonacci-Zahl sieht so aus:

Außerdem sind Erzeugende Funktionen auf den ersten, zweiten und fünften Blick magisch ;)