Mathematik: Unterschied zwischen den Versionen
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Als Beispiel die Erzeugende Funktion der Fibonacci-Zahlen: | Als Beispiel die Erzeugende Funktion der Fibonacci-Zahlen: | ||
Die Fibonacci-Zahlen beginnen mit <math>1</math> als nullter Zahl und <math>1</math> als erster Zahl. Dann werden immer die beiden vorhergehenden Zahlen addiert: Die zweite Fibonacci-Zahl ist <math>2</math>, die dritte <math>3</math>, die vierte <math>5</math> usw. Für jede natürliche Zahl <math>n</math> (natürliche Zahlen: <math>1, 2, 3, 4, ...</math>) gibt es eine, aber wie kann man eine geschlossene Formel anschreiben, damit man nicht alle Zahlen vor der gesuchten ausrechnen muss? Wie man das macht werden wir lernen, die <math>n</math>-te Fibonacci-Zahl sieht so aus: | Die Fibonacci-Zahlen beginnen mit <math>1</math> als nullter Zahl und <math>1</math> als erster Zahl. Dann werden immer die beiden vorhergehenden Zahlen addiert: Die zweite Fibonacci-Zahl ist <math>2</math>, die dritte <math>3</math>, die vierte <math>5</math> usw. Für jede natürliche Zahl <math>n</math> (natürliche Zahlen: <math>0, 1, 2, 3, 4, ...</math>) gibt es eine, aber wie kann man eine geschlossene Formel anschreiben, damit man nicht alle Zahlen vor der gesuchten ausrechnen muss? Wie man das macht werden wir lernen, die <math>n</math>-te Fibonacci-Zahl sieht so aus: | ||
<math>f(n)=\frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1} - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right)</math> | <math>f(n)=\frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1} - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right)</math> | ||
Version vom 31. Januar 2007, 02:31 Uhr
Erzeugende Funktionen
Wir möchten uns für den Anfang mit Erzeugenden Funktionen beschäftigen. Mit Hilfe erzeugender Funktionen kann jede lineare Rekursion explizit angeschrieben werden (und noch vieles mehr). Das heißt, man braucht sich für die, sagen wir, 42. Zahl nicht alle Zahlen davor ausrechnen, sondern kann in eine geschlossene Formel "42" einsetzen und erhält direkt das Ergebnis.
Außerdem sind Erzeugende Funktionen auf den ersten, zweiten und fünften Blick magisch ;)
Wir setzen uns zusammen und reden über Erzeugende Funktionen. Es brauchen keine Vorkenntnisse vorhanden zu sein, insbesondere kein Maturawissen in Mathematik. Alle Grundlagen werden erklärt.
Als Beispiel die Erzeugende Funktion der Fibonacci-Zahlen:
Die Fibonacci-Zahlen beginnen mit als nullter Zahl und als erster Zahl. Dann werden immer die beiden vorhergehenden Zahlen addiert: Die zweite Fibonacci-Zahl ist , die dritte , die vierte usw. Für jede natürliche Zahl (natürliche Zahlen: ) gibt es eine, aber wie kann man eine geschlossene Formel anschreiben, damit man nicht alle Zahlen vor der gesuchten ausrechnen muss? Wie man das macht werden wir lernen, die -te Fibonacci-Zahl sieht so aus:
Und die 42. Fibonacci-Zahl:
Interessenten
Mitternachtsformel
.. steht hier nur als Testcase fuer den jetzt vorhandenen Metalab Mediawiki support fuer das rendern von TeX Formeln.
Ausserdem kann man diese Formel gar nicht oft genug irgendwo aufschreiben.. ;-)
Wann?
Wöchentlich? Freitags? Samstags? Sonntags? Sonst Wann? Bitte Präferenzen dazu schreiben!
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