Mathematik

Themen

Erzeugende Funktionen

Mat(h)e-Workshop ;-)

Wir möchten uns für den Anfang mit Erzeugenden Funktionen beschäftigen. Mit Hilfe erzeugender Funktionen kann jede lineare Rekursion explizit angeschrieben werden (und noch vieles mehr). Das heißt, man braucht sich für die, sagen wir, 42. Zahl nicht alle Zahlen davor ausrechnen, sondern kann in eine geschlossene Formel "42" einsetzen und erhält direkt das Ergebnis.

Außerdem sind Erzeugende Funktionen auf den ersten, zweiten und fünften Blick magisch ;)

Wir setzen uns zusammen und reden über Erzeugende Funktionen. Es brauchen keine Vorkenntnisse vorhanden zu sein, insbesondere kein Maturawissen in Mathematik. Alle Grundlagen werden erklärt.

Als Beispiel die Erzeugende Funktion der Fibonacci-Zahlen:

Die Fibonacci-Zahlen beginnen mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1} als nullter Zahl und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1} als erster Zahl. Dann werden immer die beiden vorhergehenden Zahlen addiert: Die zweite Fibonacci-Zahl ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2} , die dritte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3} , die vierte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5} usw. Für jede natürliche Zahl Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} (natürliche Zahlen: $0,1,2,3,4,...$) gibt es eine, die rekursive Funktion sieht so aus:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(n)=f\left( n-1 \right) +f\left( n-2 \right) }

Aber wie kann man eine geschlossene Formel anschreiben, damit man nicht alle Zahlen vor der gesuchten ausrechnen muss? Wie man das macht werden wir lernen, die $n$-te Fibonacci-Zahl sieht so aus:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(n)=\frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1} - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right)}

Und die 42. Fibonacci-Zahl:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(42)=\frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{42+1} - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{42+1}\right) = 433494437}

Ansprechpartner fuer das Thema: Isis

Tower of Hanoi

Den Erzeugenden Funktionen nicht unaehnlich, weil es auch hier darum geht Funktionen mit rekursiven Charakter in solche ohne umzuwandeln (wobei hier die zugrundeliegenden rekursiven Funktionen keine Folgen im engeren Sinne darstellen), sind die meisten Fragestellungen aus dem Umfeld des Tower of Hanoi Problems. Clifford beschaeftigt sich schon laenger mit diversen Fragen aus dem Tower of Hanoi-Umfeld und hat unter anderem diese Formel fuer den Zustand eines Tower of Hanoi Systems zu einer gegebenen Zugnummer erarbeitet:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s = \left( \left( \left( \left( n + d + 1 \right) \bmod 2 \right) + 1 \right) \cdot \lfloor \frac{ m + 2^{d-1} }{ 2^d } \rfloor \right) \bmod 3}
http://www.clifford.at/hanoi/

Wir koennten uns unter anderem mit folgenden Fragestellungen beschaeftigen:

• Vom Zustand des Hanoi-Systems zur Zugnummer (ohne Numerik natuerlich!)
• Effektive Algorithmen fuer mehr als drei Tuerme
• Von der Zugnummer zum Zustand und umgekehrt fuer belibige Start- und Ziel-Zustaende
• Tower of Hanoi System als Graycode-Darstellungsvariante eines Trinaersystems?
• Weitere Vorschlaege bitte hier einzusetzen

Ansprechpartner fuer das Thema: Clifford

Crypto

• Cryptography: aaron wiederholt hier gerne sein "Vorlesung" von der Donau Uni Krems (RSA wird hergeleitet) - wenn gewünscht.
• Inhalt: wir werden den RSA Algo komplett mathematisch beweisen und herleiten. Fokus liegt in der Mathematik, nicht in der Praxis.
• Unterlagen @ http://tema.lo-res.org/~aaron/crypto
• Termin wird noch angekündigt
• Interessierte eintragen in der Jukebox

andere Themen

• Unterhaltungsmathematik
  • Königsberger Brückenproblem
  • Balkenwaagenrätsel (in Unkenntnis des mathematischen Namens)
    • Meinst Du Variationen von so was: http://www.spektrumverlag.de/artikel/828816 ?
    • (Loesung gibt es auf http://www.clifford.at/fun/jans_eselin.pl --Clifford)
  • 14/15-Puzzle
• Komplexitaetstheorie
  • Kostenfunktionen
  • Erfüllbarkeitsproblem
  • Satz von Cook
  • P vs. NP - Problem
• Berühmte ungelöste Problemstellungen verstehen ;)
• kleine Beweise

Organisation

Interessenten

• Isis
• Wizard23
• Clifford
• sushimako
• benko
• PK
• cygen0ck
• meta
• citizen428
• kyrah
• chrysn
• thex

Wann?

Erstes Treffen am 22.2.2007 um 19:30 Uhr im Hauptraum. Es geht um erzeugende Funktionen. Hauptsächlich werden die Grundlagen behandelt, da man ja vorher nix wissen muss :) Wir schauen dann wie weit wir kommen.

Frühere Termine

Am 22.2.2007 wurden folgende Themen behandelt:

• Mengen
• Quadratische Gleichungen und lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten
• Potenzrechnen (auch mit Wurzeln)
• Summenschreibweise
• Folgen
• Reihen
• Potenzreihen (nur die Definition)

Die Unterlagen kann man hier runterladen: Datei:Erzeugende funktionen.pdf, Source: Datei:Erzeugende funktionen.tex