Mathematik: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 30. Januar 2007, 22:31 Uhr

Erzeugende Funktionen

Wir möchten uns für den Anfang mit Erzeugenden Funktionen beschäftigen. Mit Hilfe erzeugender Funktionen kann jede lineare Rekursion explizit angeschrieben werden (und noch vieles mehr). Das heißt, man braucht sich für die, sagen wir, 42. Zahl nicht alle Zahlen davor ausrechnen, sondern kann in eine geschlossene Formel "42" einsetzen und erhält direkt das Ergebnis.

Außerdem sind Erzeugende Funktionen auf den ersten, zweiten und fünften Blick magisch ;)

Wir setzen uns zusammen und reden über Erzeugende Funktionen. Es brauchen keine Vorkenntnisse vorhanden zu sein, insbesondere kein Maturawissen in Mathematik. Alle Grundlagen werden erklärt.

Als Beispiel die Erzeugende Funktion der Fibonacci-Zahlen:

Die Fibonacci-Zahlen beginnen mit $1$ als nullter Zahl und $1$ als erster Zahl. Dann werden immer die beiden vorhergehenden Zahlen addiert: Die zweite Fibonacci-Zahl ist $2$ , die dritte $3$ , die vierte $5$ usw. Für jede natürliche Zahl $n$ (natürliche Zahlen: $1,2,3,4,...$ ) gibt es eine, aber wie kann man eine geschlossene Formel anschreiben, damit man nicht alle Zahlen vor der gesuchten ausrechnen muss? Wie man das macht werden wir lernen, die $n$ -te Fibonacci-Zahl sieht so aus:

$f(n)={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n+1}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n+1}\right)$

Und die 42. Fibonacci-Zahl:

$f(42)={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{42+1}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{42+1}\right)=433494437$

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Mitternachtsformel

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

.. steht hier nur als Testcase fuer den jetzt vorhandenen Metalab Mediawiki support fuer das rendern von TeX Formeln.

Ausserdem kann man diese Formel gar nicht oft genug irgendwo aufschreiben.. ;-)

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-Ich würde gerne im Metalab die Mathematik beleben. Für den Anfang schlage ich vor, dass wir uns mit [http://de.wikipedia.org/wiki/Erzeugende_Funktion Erzeugenden Funktionen] beschäftigen. Mit Hilfe erzeugender Funktionen kann jede lineare Rekursion explizit angeschrieben werden. Das heißt, man braucht sich für die, sagen wir, 42. Zahl nicht alle Zahlen davor ausrechnen, sondern kann in eine geschlossene Formel "42" einsetzen und erhält direkt das Ergebnis. Als Beispiel die Erzeugende Funktion für die Fibonacci-Zahlen:
+==Erzeugende Funktionen==
-Die Fibonacci-Zahlen beginnen mit <math>1</math> als nullter Zahl und <math>1</math> als erster Zahl. Dann werden immer die beiden vorigen Zahlen addiert: Die zweite Fibonacci-Zahl ist <math>2</math>, die dritte <math>3</math>, die vierte <math>5</math> usw. Für jede natürliche Zahl <math>n</math> (natürliche Zahlen: <math>1, 2, 3, 4, ...</math>) gibt es eine, aber wie kann man eine geschlossene Formel anschreiben, damit man sich nicht alle Zahlen vor der gesuchten ausrechnen muss? Das geht eben mit Hilfe Erzeugender Funktionen (sorry, ich wiederhole mich), die <math>n</math>-te Fibonacci-Zahl sieht so aus:
+Wir möchten uns für den Anfang mit [http://de.wikipedia.org/wiki/Erzeugende_Funktion Erzeugenden Funktionen] beschäftigen. Mit Hilfe erzeugender Funktionen kann jede lineare Rekursion explizit angeschrieben werden (und noch vieles mehr). Das heißt, man braucht sich für die, sagen wir, 42. Zahl nicht alle Zahlen davor ausrechnen, sondern kann in eine geschlossene Formel "42" einsetzen und erhält direkt das Ergebnis.
-<math>f(n)=\frac{1}{\sqrt{5}} ((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1} - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+1})</math>
+Außerdem sind Erzeugende Funktionen auf den ersten, zweiten und fünften Blick magisch ;)
-Eine Verschönerung der Klammern und die 42. Zahl kommen später noch, ich muss jetzt weg ...
+Wir setzen uns zusammen und reden über Erzeugende Funktionen. Es brauchen '''keine Vorkenntnisse''' vorhanden zu sein, insbesondere kein Maturawissen in Mathematik. Alle Grundlagen werden erklärt.
-Außerdem sind Erzeugende Funktionen auf den ersten, zweiten und fünften Blick magisch ;)
+Als Beispiel die Erzeugende Funktion der Fibonacci-Zahlen:
+Die Fibonacci-Zahlen beginnen mit <math>1</math> als nullter Zahl und <math>1</math> als erster Zahl. Dann werden immer die beiden vorhergehenden Zahlen addiert: Die zweite Fibonacci-Zahl ist <math>2</math>, die dritte <math>3</math>, die vierte <math>5</math> usw. Für jede natürliche Zahl <math>n</math> (natürliche Zahlen: <math>1, 2, 3, 4, ...</math>) gibt es eine, aber wie kann man eine geschlossene Formel anschreiben, damit man nicht alle Zahlen vor der gesuchten ausrechnen muss? Wie man das macht werden wir lernen, die <math>n</math>-te Fibonacci-Zahl sieht so aus:
+<math>f(n)=\frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1} - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right)</math>
+Und die 42. Fibonacci-Zahl:
-Ich habe mir eine Art Workshop vorgestellt, wo wir uns zusammen setzen und über erzeugende Funktionen reden. Es brauchen '''keine Vorkenntnisse''' vorhanden zu sein, insbesondere kein Maturawissen in Mathematik. Ich erkläre alle Grundlagen (außer die, die jeder weiß, das machen wir uns dann aus).
+<math>f(42)=\frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{42+1} - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{42+1}\right) = 433494437</math>
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