Mathematik: Unterschied zwischen den Versionen

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Ich würde gerne im Metalab die Mathematik beleben. Für den Anfang schlage ich vor, dass wir uns mit [http://de.wikipedia.org/wiki/Erzeugende_Funktion Erzeugenden Funktionen] beschäftigen. Mit Hilfe erzeugender Funktionen kann jede lineare Rekursion explizit angeschrieben werden. Das heißt, man braucht sich für die, sagen wir, 42. Zahl nicht alle Zahlen davor ausrechnen, sondern kann in eine geschlossene Formel "42" einsetzen und erhält direkt das Ergebnis. Als Beispiel die Erzeugende Funktion für die Fibonacci-Zahlen:
=Themen=


Die Fibonacci-Zahlen beginnen mit <math>1</math> als nullter Zahl und <math>1</math> als erster Zahl. Dann werden immer die beiden vorigen Zahlen addiert: Die zweite Fibonacci-Zahl ist <math>2</math>, die dritte <math>3</math>, die vierte <math>5</math> usw. Für jede natürliche Zahl <math>n</math> (natürliche Zahlen: <math>1, 2, 3, 4, ...</math>) gibt es eine, aber wie kann man eine geschlossene Formel anschreiben, damit man sich nicht alle Zahlen vor der gesuchten ausrechnen muss? Das geht eben mit Hilfe Erzeugender Funktionen (sorry, ich wiederhole mich), die <math>n</math>-te Fibonacci-Zahl sieht so aus:
==Erzeugende Funktionen==
[[Bild:Matelab1.jpg|thumb|180px|right|Mat(h)e-Workshop ;-)]]
Wir möchten uns für den Anfang mit [http://de.wikipedia.org/wiki/Erzeugende_Funktion Erzeugenden Funktionen] beschäftigen. Mit Hilfe erzeugender Funktionen kann jede lineare Rekursion explizit angeschrieben werden (und noch vieles mehr). Das heißt, man braucht sich für die, sagen wir, 42. Zahl nicht alle Zahlen davor ausrechnen, sondern kann in eine geschlossene Formel "42" einsetzen und erhält direkt das Ergebnis.


<math>f(n)=\frac{1}{\sqrt{5}} ((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1} - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+1})</math>
Außerdem sind Erzeugende Funktionen auf den ersten, zweiten und fünften Blick magisch ;)
 
Wir setzen uns zusammen und reden über Erzeugende Funktionen. Es brauchen '''keine Vorkenntnisse''' vorhanden zu sein, insbesondere kein Maturawissen in Mathematik. Alle Grundlagen werden erklärt.
 
Als Beispiel die Erzeugende Funktion der Fibonacci-Zahlen:


Eine Verschönerung der Klammern und die 42. Zahl kommen später noch, ich muss jetzt weg ...
Die Fibonacci-Zahlen beginnen mit <math>1</math> als nullter Zahl und <math>1</math> als erster Zahl. Dann werden immer die beiden vorhergehenden Zahlen addiert: Die zweite Fibonacci-Zahl ist <math>2</math>, die dritte <math>3</math>, die vierte <math>5</math> usw. Für jede natürliche Zahl <math>n</math> (natürliche Zahlen: <math>0, 1, 2, 3, 4, ...</math>) gibt es eine, die rekursive Funktion sieht so aus:


Außerdem sind Erzeugende Funktionen auf den ersten, zweiten und fünften Blick magisch ;)
<math>f(n)=f\left( n-1 \right) +f\left( n-2 \right) </math>
 
 
Aber wie kann man eine geschlossene Formel anschreiben, damit man nicht alle Zahlen vor der gesuchten ausrechnen muss? Wie man das macht werden wir lernen, die <math>n</math>-te Fibonacci-Zahl sieht so aus:
 
<math>f(n)=\frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1} - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right)</math>
 
Und die 42. Fibonacci-Zahl:
 
<math>f(42)=\frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{42+1} - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{42+1}\right) = 433494437</math>
 
'''Ansprechpartner fuer das Thema: [[User:Isis1984|Isis]]'''
 
==Tower of Hanoi==
 
Den Erzeugenden Funktionen nicht unaehnlich, weil es auch hier darum geht Funktionen mit rekursiven Charakter in solche ohne umzuwandeln (wobei hier die zugrundeliegenden rekursiven Funktionen keine Folgen im engeren Sinne darstellen), sind die meisten Fragestellungen aus dem Umfeld des [http://en.wikipedia.org/wiki/Tower_of_Hanoi Tower of Hanoi Problems]. Clifford beschaeftigt sich schon laenger mit diversen Fragen aus dem Tower of Hanoi-Umfeld und hat unter anderem diese Formel fuer den Zustand eines Tower of Hanoi Systems zu einer gegebenen Zugnummer erarbeitet:
 
<center>
<math>s = \left( \left( \left( \left( n + d + 1 \right) \bmod 2 \right) + 1 \right) \cdot \lfloor \frac{ m + 2^{d-1} }{ 2^d } \rfloor \right) \bmod 3</math><br/>
http://www.clifford.at/hanoi/
</center>
 
Wir koennten uns unter anderem mit folgenden Fragestellungen beschaeftigen:
 
* Vom Zustand des Hanoi-Systems zur Zugnummer (ohne Numerik natuerlich!)
* Effektive Algorithmen fuer mehr als drei Tuerme
* Von der Zugnummer zum Zustand und umgekehrt fuer belibige Start- und Ziel-Zustaende
* Tower of Hanoi System als Graycode-Darstellungsvariante eines Trinaersystems?
* ''Weitere Vorschlaege bitte hier einzusetzen''
 
'''Ansprechpartner fuer das Thema: [[User:Clifford|Clifford]]'''
 
== Crypto ==
* [[Cryptography]]: aaron wiederholt hier gerne sein "Vorlesung" von der Donau Uni Krems (RSA wird hergeleitet) - wenn gewünscht.
* Inhalt: wir werden den RSA Algo komplett mathematisch beweisen und herleiten. Fokus liegt in der Mathematik, nicht in der Praxis.
* Unterlagen @ http://tema.lo-res.org/~aaron/crypto
* Termin : 30.4.2007, 14:00
* Interessierte eintragen in der [http://metalab.at/wiki/Jukebox#Crypto Jukebox]
 
==andere Themen==
* Unterhaltungsmathematik
** [http://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6nigsberger_Br%C3%BCckenproblem Königsberger Brückenproblem]
** Balkenwaagenrätsel (in Unkenntnis des mathematischen Namens)
*** Meinst Du Variationen von so was: http://www.spektrumverlag.de/artikel/828816 ?
*** (Loesung gibt es auf http://www.clifford.at/fun/jans_eselin.pl --[[Benutzer:Clifford|Clifford]])
** [http://de.wikipedia.org/wiki/14/15-Puzzle 14/15-Puzzle]
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexitätstheorie Komplexitaetstheorie]
** [http://de.wikipedia.org/wiki/Landau-Symbole Kostenfunktionen]
** [http://de.wikipedia.org/wiki/Erfüllbarkeitsproblem_der_Aussagenlogik Erfüllbarkeitsproblem]
** [http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Cook Satz von Cook]
** [http://de.wikipedia.org/wiki/P/NP-Problem P vs. NP - Problem]
* Berühmte ungelöste Problemstellungen verstehen ;)
* kleine Beweise


Ich habe mir eine Art Workshop vorgestellt, wo wir uns zusammen setzen und über erzeugende Funktionen reden. Es brauchen '''keine Vorkenntnisse''' vorhanden zu sein, insbesondere kein Maturawissen in Mathematik. Ich erkläre alle Grundlagen (außer die, die jeder weiß, das machen wir uns dann aus).
=Organisation=


==Interessenten==
==Interessenten==
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* [[User:cygenb0ck|cygen0ck]]
* [[User:cygenb0ck|cygen0ck]]
* [[User:metaz|meta]]
* [[User:metaz|meta]]
* [[User:Citizen428|citizen428]]
* [[User:kyrah|kyrah]]
* [[Benutzer:Chrysn|chrysn]]
* [[Benutzer:thex|thex]]
* [[User:fetzig|fetzig]]
* [[User:hovv_1_am|hovv_1_am]]
==Wann?==
Das nächste Treffen wird am <s>'''12.04.2007'''</s> ''(wegen Krankheit verschoben)'' um '''19:30''' stattfinden. Die genauen Themen sowie ein Update der Unterlagen folgen noch. Es geht wieder um erzeugende Funktionen, bzw. den Weg dorthin ;)


==Mitternachtsformel==
Die Unterlagen kann man hier runterladen: [[Bild:Erzeugende_funktionen.pdf]],
Source: [[Bild:Erzeugende_funktionen.tex]] (Stand vom 22.2.2007, nur bis Potenzrechnen)


<math>x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math>
===Teilnehmer===


.. steht hier nur als Testcase fuer den jetzt vorhandenen Metalab Mediawiki support fuer das rendern von TeX Formeln.
* [[User:Isis1984|Isis]]
* [[User:Clifford|Clifford]]
* <s>[[User:Citizen428|citizen428]]</s> (leider doch nicht)
* [[User:chrysn|chrysn]]


Ausserdem kann man diese Formel gar nicht oft genug irgendwo aufschreiben.. ;-)
===Frühere Termine===
Am '''22.2.2007''' wurden folgende Themen behandelt:


==Wann?==
* Mengen
Wöchentlich? Freitags? Samstags? Sonntags? Sonst Wann?
* Quadratische Gleichungen und lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten
Bitte Präferenzen dazu schreiben!
* Potenzrechnen (auch mit Wurzeln)
* Summenschreibweise
* Folgen
* Reihen
* Potenzreihen (nur die Definition)


==andere Themen==
Außerdem haben wir gemeinsam die große Lösungsformel für quadratische Gleichungen hergeleitet :)
*Unterhaltungsmathematik
*Berühmte ungelöste Problemstellungen verstehen ;)


[[Kategorie:Interessensgebiete]]
[[Kategorie:Interessensgebiete]]

Aktuelle Version vom 14. Oktober 2017, 10:16 Uhr

Themen

Erzeugende Funktionen

Mat(h)e-Workshop ;-)

Wir möchten uns für den Anfang mit Erzeugenden Funktionen beschäftigen. Mit Hilfe erzeugender Funktionen kann jede lineare Rekursion explizit angeschrieben werden (und noch vieles mehr). Das heißt, man braucht sich für die, sagen wir, 42. Zahl nicht alle Zahlen davor ausrechnen, sondern kann in eine geschlossene Formel "42" einsetzen und erhält direkt das Ergebnis.

Außerdem sind Erzeugende Funktionen auf den ersten, zweiten und fünften Blick magisch ;)

Wir setzen uns zusammen und reden über Erzeugende Funktionen. Es brauchen keine Vorkenntnisse vorhanden zu sein, insbesondere kein Maturawissen in Mathematik. Alle Grundlagen werden erklärt.

Als Beispiel die Erzeugende Funktion der Fibonacci-Zahlen:

Die Fibonacci-Zahlen beginnen mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1} als nullter Zahl und als erster Zahl. Dann werden immer die beiden vorhergehenden Zahlen addiert: Die zweite Fibonacci-Zahl ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2} , die dritte , die vierte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5} usw. Für jede natürliche Zahl Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} (natürliche Zahlen: ) gibt es eine, die rekursive Funktion sieht so aus:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(n)=f\left( n-1 \right) +f\left( n-2 \right) }


Aber wie kann man eine geschlossene Formel anschreiben, damit man nicht alle Zahlen vor der gesuchten ausrechnen muss? Wie man das macht werden wir lernen, die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -te Fibonacci-Zahl sieht so aus:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(n)=\frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1} - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right)}

Und die 42. Fibonacci-Zahl:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(42)=\frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{42+1} - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{42+1}\right) = 433494437}

Ansprechpartner fuer das Thema: Isis

Tower of Hanoi

Den Erzeugenden Funktionen nicht unaehnlich, weil es auch hier darum geht Funktionen mit rekursiven Charakter in solche ohne umzuwandeln (wobei hier die zugrundeliegenden rekursiven Funktionen keine Folgen im engeren Sinne darstellen), sind die meisten Fragestellungen aus dem Umfeld des Tower of Hanoi Problems. Clifford beschaeftigt sich schon laenger mit diversen Fragen aus dem Tower of Hanoi-Umfeld und hat unter anderem diese Formel fuer den Zustand eines Tower of Hanoi Systems zu einer gegebenen Zugnummer erarbeitet:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s = \left( \left( \left( \left( n + d + 1 \right) \bmod 2 \right) + 1 \right) \cdot \lfloor \frac{ m + 2^{d-1} }{ 2^d } \rfloor \right) \bmod 3}
http://www.clifford.at/hanoi/

Wir koennten uns unter anderem mit folgenden Fragestellungen beschaeftigen:

  • Vom Zustand des Hanoi-Systems zur Zugnummer (ohne Numerik natuerlich!)
  • Effektive Algorithmen fuer mehr als drei Tuerme
  • Von der Zugnummer zum Zustand und umgekehrt fuer belibige Start- und Ziel-Zustaende
  • Tower of Hanoi System als Graycode-Darstellungsvariante eines Trinaersystems?
  • Weitere Vorschlaege bitte hier einzusetzen

Ansprechpartner fuer das Thema: Clifford

Crypto

  • Cryptography: aaron wiederholt hier gerne sein "Vorlesung" von der Donau Uni Krems (RSA wird hergeleitet) - wenn gewünscht.
  • Inhalt: wir werden den RSA Algo komplett mathematisch beweisen und herleiten. Fokus liegt in der Mathematik, nicht in der Praxis.
  • Unterlagen @ http://tema.lo-res.org/~aaron/crypto
  • Termin : 30.4.2007, 14:00
  • Interessierte eintragen in der Jukebox

andere Themen

Organisation

Interessenten

Wann?

Das nächste Treffen wird am 12.04.2007 (wegen Krankheit verschoben) um 19:30 stattfinden. Die genauen Themen sowie ein Update der Unterlagen folgen noch. Es geht wieder um erzeugende Funktionen, bzw. den Weg dorthin ;)

Die Unterlagen kann man hier runterladen: Datei:Erzeugende funktionen.pdf, Source: Datei:Erzeugende funktionen.tex (Stand vom 22.2.2007, nur bis Potenzrechnen)

Teilnehmer

Frühere Termine

Am 22.2.2007 wurden folgende Themen behandelt:

  • Mengen
  • Quadratische Gleichungen und lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten
  • Potenzrechnen (auch mit Wurzeln)
  • Summenschreibweise
  • Folgen
  • Reihen
  • Potenzreihen (nur die Definition)

Außerdem haben wir gemeinsam die große Lösungsformel für quadratische Gleichungen hergeleitet :)

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